음함수 미분법의 본질

음함수란 무엇인가? 다른 곳에서 알아서 찾아보라. 여기서는 음함수 미분법의 본질에 대해서만 다루겠다. 임의의 음함수 s(x,y)=0 를 좌표평면에 그리면 임의의 곡선 또는 직선이 그려진다. 보통 책에는 이때 y를 x의 함수로 취급하고 s(x,y)=0을 x 에관해 미분한다. 그 과정에서 함성함수의 미분법을 사용해 dy/dx를 구한다. 여기서 내가 탐구한 부분은 ‘y를 x의 함수로 취급한다’ 이다. 언뜻 보면 말이 안된다. 반지름의 길이가 1이고 중심이 원점인 원 정도를 생각해보면 y는 x의 함수가 분명히 아니다. 그런데 어찌 y를 x의 함수로 취급하겠는가. 여기서 먼저 주어진 원에대한 음함수의 미분이 가능함을 먼저 보이겠다. f(x,y)=0이 주어진 원이라 하자. 가정계를 수립하자.(1)y가 0보다 크거나 같을때. y가 0보다 크거나 같을때 f(x,y)=0은 x의 함수이다. 이 함수를 g라 하자. f(x,y)=0의 x,y의 등식과 y=g(x)의 x,y의 등식은 서로 동치이다. 그러므로 둘중 어떤 등식을 x에 대해 미분해도 동일한 미분연산 행위이다. (2) y가 0보다 작을때. y가 0보다 작을때 마찬가지로 f(x,y)=0은 x의 함수이다. 이 함수를 h 라 하자. f(x,y)=0의 x,y의 등식과 y=h(x)의 x,y의 등식은 서로 동치이다. 그러므로 둘중 어떤 등식을 x에 대해 미분해도 동일한 미분연산 행위이다. 이때 f(x,y)=0에서 정의역과 공역을 적당히 정하면 f(x,y)=0은 x의 함수가 되고 이때 y는 x의 함수이다. 변하는 것은 f(x,y)=0 이 아니라 f(x,y)=0의 정의역과 공역이므로 어느 가정계에서 사고하든 f(x,y)=0이라는 등식은 변하지 않는다. 주어진 원을 음함수 미분할시 실은 가정계 (1)과 (2)의 과정이 함축되어 있다고 볼 수 있는 것이다. 이제 일반적인 음함수의 미분에 대해 생각해보자. 원리는 비슷하다. 주어진 임의의 음함수 k(x,y)=0에 대해 생각할때 정의역과 공역을 적당히 나누면 k(x,y)=0은 x의 함수가 된다. 이때 k(x,y)=0이 함수가 되도록 정의역과 공역을 나누는 가정계가 n개라 해보자. 단 (n은 자연수) 이때 각 가정계에서 변하는 것은 k(x,y)=0의 정의역과 공역이지만, k(x,y)=0은 어느 가정계에서도 변하지 않는다. 따라서 임의의 음함수 k(x,y)=0을 x에 관해 미분하는 것은 실은 n개의 가정계 각각에서 음함수를 미분하고있는 과정을 순서대로 행하고있는 행위를 함축해놓은 행위라 할 수 있다. 따라서 임의의 음함수의 미분은 가능하다.

음함수 미분법의 본질을 이해하는 핵심=주어진 음함수를 느리게 미분하기 not 한번에 미분하기.

음함수 j(x,y)=0에서 y의 본질은 다정함수 그리고 j(x,y)=0은 x,y의 항등식인 관점도 존재. 여기서 y를 소거한다면 주어진 항등식은 x의 항등식으로 변형됨.

y가 0보다 크거나 같을때 x^2+y^2=1은 x의 함수. 이때 y는 x의 함수. 이 함수를 y=g(x)라고 한다면 y=g(x)의 양변을 미분하는 행위나 x^2+y^2=1의 양변을 미분하는 행위나 같다. 이때, y=g(x)의 양변은 x에관해 미분가능하다 따라서 미분하면 그 동시에 x^2+y^2=1 의 양변이 미분된다. 그러므로 음함수 미분하면 합성함수의 미분법에 따라 논리전개된다. y가 0보다 작을때도 마찬가지 논리로 이해가능. y= 다정함수.