2변수의 음함수의 미분법의 고찰

음함수의 미분법이란 무엇일까? 오늘 그 실체를 파악해보려 한다. 반지름 길이가 1이고 중심이 원점인 원에 대해 먼저 음함수 미분법을 이해해보자. 

y=sqrt(1-x^2)과 x^2+y^2=1(y>=0)은 모두 한 정적인 함수 f를 나타내는 x,y의 방정식이다.

즉 두 등식은 x,y에 관해 서로 동치다. 그러므로 둘중 한 등식의 양변을 x에 관해 미분하는 것은 곧 다른 한 등식의 양변을 미분하는 것과 같다. 이때  x^2+y^2=1(y>=0)의 양변을 미분하는 행위를 우리는 음함수의 미분으로 인식하고 있는 것이다.

반지름 길이가 1이고 중심이 원점인 원 (x^2+y^2=1)을 언뜻 보면 y는 x의 함수가 아니므로 y를 x의 함수라고 생각하고 양변을 x에 관해 미분하는 행위는 불가능해보인다. 하지만 위 논리처럼 정의역과 공역의 범위를 적당히 나눠주면 y는 x의 함수가 되고 그때의 x,y들이 대해서는 y를 x의 함수로 보고 양변을 x에 관해 미분할 수 있다. 이 행위를 반복하면 거의(?)모든 x,y에 대해서 동일한 음함수 미분이 가능한 규칙을 발견 할 수 있다. 우리가 흔히 음함수 미분을 할 때 사실은 다음과 같은 과정이 생략되어 있는 것으로 볼 수 있다.

1.정의역과 공역을 적당히 나눠 y를 x의 함수로 만든다

2.1의 x,y에 대해서만 음함수 미분이 가능함을 보인다.

3.주어진 x,y의 등식의 정의역과 공역을 적당히 나눈다고 해서 그 등식이 변하지는 않음을 인지한다.

4.나머지 정의역과 공역에 대해서도 1,2,3을 반복해서 생각한다.

1~4를 하다보면 어느새 모든 x,y에 대해 음함수 미분을 한 자신을 발견할수 있다.

 

cf)1을 할시에,  최대치로 y를 x의 함수로 잡아야 한다. 그래야 최대한 많은 x,y들에 대해 dy/dx를 구할수 있다.